Question

設(shè)函數(shù)f（x）的實(shí)數(shù)x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y）＞0 且當(dāng)x＞0，f（x）＜0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上（　　）

• A．有最大值f

  a+b

  2

• B．有最小值f

  a+b

  2

• C．有最大值f（a）
• D．有最小值f（a）

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得到函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，從而可得到答案．

解答：解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
又當(dāng)x＞0時，f（x）＜0=f（0），
∴f（x）是減函數(shù)
∴在區(qū)間[a，b]上，f（a）＞f（b）．
∵a＜b，
∴a＜

a+b

2

＜b，
∴f（b）＜f（

a+b

2

）＜f（a），
∴f（x）在區(qū)間[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，分析得到f（x）是減函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．