Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1,3tS_n-(2t+3)S_n-1=3t，其中t＞0，n∈N^*,n≥2.

（1）求證：數列{a_n}是等比數列；

（2）設數列{a_n}的公比為f(t)，數列{b_n}滿足b₁=1,b_n=f()(n≥2)，求{b_n}的通項公式；

（3）記T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b₂n-1b₂n-b₂nb₂n+1,求證T_n≤-.

Answer 1

解：（1）3tS_n-(2t+3)S_n-1=3t,                                   ①

3tS_n+1-(2t+3)S_n=3t,                                                ②

②-①得3ta_n+1-(2t+3)a_n=0，

∴.

又a₁=1,3t(a₁+a₂)-(2t+3)a₁=3t,解得a₂=.∴.

∴{a_n}是等比數列.                                                        

（2）f(t)=,

∴b_n=.

∴b_n-b_n-1=.∴數列{b_n}為等差數列，b_n=1+(n-1)·=n+.                   

（3）T_n=b₂(b₁-b₃)+b₄(b₃-b₅)+…+b_2n(b_2n-1-b_2n+1)=-(b₂+b₄+…+b_2n)

=-·(2n²+3n),

當n≥1時，f(n)=2n²+3n為減函數，

∴T_n≤-.