Question

雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂離心率為e．過(guò)F₂的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，若△F₁AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e²的值是（ ）
A．1+2
B．3+2
C．4-2
D．5-2

Answer 1

【答案】分析：設(shè)|AF₁|=|AB|=m，計(jì)算出|AF₂|=（1-）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關(guān)系，從而求出e²的值．
解答：解：設(shè)|AF₁|=|AB|=m，則|BF₁|=m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+m-2a=m，
∴4a=m，∴|AF₂|=（1-）m，
∵△AF₁F₂為Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（-）m²，
∵4a=m
∴4c²=（-）×8a²，
∴e²=5-2
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，解題的關(guān)鍵是確定|AF₂|，從而利用勾股定理求解．