Question

已知關于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當k變化時，試求不等式的解集A；
（2）對于不等式的解集A，若滿足A∩Z=B（其中Z為整數集）．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對k的討論是本題解題的關鍵，考慮到方程類型，最高次項系數的正負及根的大小等因素．
（2）由（1）的討論為基礎，繼續分析B中元素的個數并比較元素最少的情況

解答：解：（1）當k=0時，A=（-∞，4）；
當k＞0且k≠2時，4＜k+

4

k

，A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；
當k=2時，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
當k＜0時，k+

4

k

＜4，A=(k+

4

k

，4)．
（2）由（1）知：當k≥0時，集合B中的元素的個數無限；
當k＜0時，集合B中的元素的個數有限，此時集合B為有限集．
因為k+

4

k

≤-4，當且僅當k=-2時取等號，
所以當k=-2時，集合B的元素個數最少．
此時A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．

點評：本題考查的分類討論的思想，這也是高中數學中經常考查的思想內容．