Question

【題目】已知函數，不等式對恒成立.

（1）求函數的極值和實數的值；

（2）已知函數，，其中為自然對數的底數.若存在，使得，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），不存在極小值；。（2）。

【解析】

（1）利用導數對求導，由單調區間求得函數的極值. 對不等式兩邊取以為底的對數，化簡為的形式，根據前面所求的單調區間求得的值.（2）將表達式代入不等式左邊，構造函數，對分成，兩類，通過函數的導數，討論函數的單調性，利用函數的最小值為負數，求得的取值范圍.

（1），則時，，時，，

故在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

故，不存在極小值.

顯然，不合題意.

當時，由得，

則有，

故依題意知對恒成立.

當時，取得最大值，故.

當時，取得最大值，故，故.

綜上得.

（2）設，

則.

①當時，，，，

所以不存在使得成立.故不合題意.

②當時， ，

因為，所以，，所以在恒成立，

故在上單調遞減， ，

則依題意有，

解之得，

故的取值范圍為.