Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）探究函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.

（1）依題意，，

當(dāng)時(shí)，，故；

當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，故；

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立；

令，

求導(dǎo)得，

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，

所以；

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，

而，所以恒成立，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，，

而；

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以有，這與恒成立矛盾，舍去；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.