Question

已知點A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．
（1）若α∈（0，π），且|

AC

|=|

BC

|，求α的大小；
（2）

AC

⊥

BC

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,向量的模

專題：三角函數的求值

分析：（1）直接利用|

AC

|=|

BC

|，列出方程求出α的正切函數值，然后求解α的大小；
（2）通過

AC

⊥

BC

，得到α的三角函數值，化簡

2sin2α+sin2α

1+tanα

求解即可．

解答： 解：（1）點A（4，0）、B（0，4）、C（3cosα，3sinα）．
α∈（0，π），且|

AC

|=|

BC

|，
可得：（3cosα-4）²+（3sinα-0）²=（3cosα）²+（3sinα-4）²，
可得：-24cosα=-24sinα，
即tanα=1，∴α=

π

4

（2）

AC

=（3cosα-4，3sinα），

BC

=（3cosα，3sinα-4），

AC

⊥

BC

，可得：9cos²α-12cosα+9sin²α-12sinα=0，sinα+cosα=

3

4

．
∴1+2sinαcosα=

9

16

，∴2sinαcosα=-

7

16

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)cosα

cosα+sinα

=2sinαcosα=-

7

16

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，弦切互化，三角函數的化簡求值，考查計算能力．