Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（I）若存在實數k和t，使得

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+

b

，且

x

⊥

y

，試求函數的關系式k=f（t）；
（II）根據（I）結論，確定k=f（t）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用向量模的坐標公式求出向量的模，利用向量垂直的充要條件列出方程，將方程變形表示出k．
（II）求出函數f（t）的導數，令導數大于0，求出不等式的解集即為單調遞增區間；令導函數小于0求出不等式的解集為單調遞減區間．

解答：解：（I）∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0 
∴

a

⊥

b

∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0
即-k|

a

|2+t(t2-3)|

b

|2=0，
∴t³-3t-4k=0
即k=

1

4

t3-

3

4

t

（II）由（I）知，k=f（t）=

1

4

t3-

3

4

t，
∴k′=

3

4

t2-

3

4

=

3

4

(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜-1或t＞1
故k=f（t）的單調遞減區間是[-1，1]；
單調遞增區間是（-∞，-1]，[1，+∞）．

點評：本題考查向量模的坐標公式；向量垂直的充要條件；利用導數求函數的單調區間．