Question

在區間D上，如果函數f（x）為增函數，而函數為減函數，則稱函數f（x）為“弱增”函數．已知函數．
（1）判斷函數f（x）在區間（0，1]上是否為“弱增”函數；
（2）設x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，證明；
（3）當x∈[0，1]時，不等式恒成立，求實數a，b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）顯然f（x）在區間（0，1]為增函數，化簡的解析式為，顯然是減函數，可得f（x）在區間（0，1]為“弱增”函數．
（2）化簡|f（x₂）-f（x₁）|的解析式為，由，即可證得命題成立．
（3）當x∈（0，1]時，不等式等價于：，由為減函數，可得，從而求得實數a，b的取值范圍．
解答：解：（1）顯然f（x）在區間（0，1]為增函數，
∵，
∴為減函數．∴f（x）在區間（0，1]為“弱增”函數．
（2），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，，
∴|f（x₂）-f（x₁）|．
（3）∵當x∈[0，1]時，不等式恒成立． 當x=0時，不等式顯然成立．
當x∈（0，1]時．等價于：，
由（1）為減函數，，∴．
點評：本題考查函數的單調性的判斷和證明，不等式的證明，體現了分類討論的數學思想，得到當x∈（0，1]時．等價于：，是解題的難點．