Question

已知一次函數f（x）=ax+b，二次函數g（x）=ax²+bx+c，a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）證明：y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個不同的交點A和B
（2）若A₁、B₁分別是點A、B在x軸上的射影，求線段A₁B₁長度的取值范圍
（3）證明：當x≤-

3

時，恒有f（x）＜g（x）

Answer 1

（1）證明：由

y=ax+b y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有兩個不等的根
∴函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個不同的交點A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
設A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c-b a

=

( c a -2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
對稱軸為x=

a-b

a

=

2a+c

a

=2+

c

a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

）上單調遞增，且h（ -

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即當 x≤-

3

時，f（x）＜g（x）恒成立．