Question

為了解高一年級學生身高情況，某校按10%的比例對全校700名高一學生按性別進行抽樣檢查，測得身高頻數分布表如下：
表1：男生身高頻數分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數	2	5	14	13	4	2

表2：女生身高頻數分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數	1	7	12	6	3	1

（1）求該校高一男生的人數；
（2）估計該校高一學生身高（單位：cm）在[165，180）的概率；
（3）在男生校本中，從身高（單位：cm）在[180，190）的男生中任選3人，設ξ表示所選3人中身高（單位：cm）在[180，185）的人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）樣本中高一男生人數為40，由分層抽樣比例為10%可得高一男生人數．
（2）樣本中身高（單位：cm）在[165，180）的學生人數為42，樣本容量為70，由頻率f估計該校學生身高（單位：cm）在[165，180）的概率P=

3

5

．
（3）由已知得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答： 解：（1）樣本中高一男生人數為2+5+14+13+4+2=40，
由分層抽樣比例為10%可得高一男生人數為400．
（2）由表1、表2知，樣本中身高（單位：cm）在[165，180）的學生人數為：
5+14+13+6+3+1=42，樣本容量為70，
所以樣本中學生身高（單位：cm）在[165，180）的頻率f=

42

70

=

3

5

，
故由頻率f估計該校學生身高（單位：cm）在[165，180）的概率P=

3

5

．
（3）樣本中身高（單位：cm）在[180，190）之間的男生有6人，
身高（單位：cm）在[180，185）的男生有4人，
由已知得ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

點評：本題考查頻率分布表的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題．