Question

（本小題滿分12分）

已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長為4，側面與底面所成的二面角為60°，E、F分別是側棱PA、PD的中點．求：

（Ⅰ）直線BE與側棱PC所成的角的大小；

（Ⅱ）AC與截面BCFE所成的角的大小。

Answer 1

解法1：（Ⅰ）分別取AD、BC中點M、N，連結PM交EF于G，連接PN、GN、MN.

則PM⊥AD，MN⊥AD.∠PMN是側面與底面所成的二面角的平面角.

故∠PMN=60°，△PMN是等邊三角形.   ………………………………………2分

設AC與MN的交點為O，連結OE，則OE∥PC，

∠ BEO是PC與BE所成的角.                             ………………4分

∵PO⊥BD，AC⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，從而BO⊥OE， AB=4，則OB=2，OE=，      

tan∠BEO=，BE與PC所成的角為arctan；  ……………6分

（Ⅱ）過O作OH⊥GN于H，連接CH.

∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，

∴BC⊥平面PMN.                   ……………………8分  

∴平面BCFE⊥平面PMN.

∴OH⊥平面BCFE.

∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角.  ………………………………10分

在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2， sin∠OCH =.

因此AC與平面BCFE所成的角為arcsin.    ……………………………………12分

 解法2：同方法一，得PN=PM=MN. …………………2分

建立空間直角坐標系如圖，則A（2，-2，0），B（2，2，0），C（-2，2，0），

P（0，0，2），E（1，-1，），M（0，-2，0）.  3分

（Ⅰ）（-1，-3，），（-2，2，-2），

設BE與PC所成的角為θ，則cosθ== .

BE與PC所成的角為arccos；     ………………………………………………6分

（Ⅱ）是平面BCFE的一個法向量， （0，-2，-2），   …………8分

=（-4，4，0）. ………………………………………………………………………9分

設AC與平面BCFE所成的角為α，則sinα== .

AC與平面BCFE所成的角為arcsin.             ……………………………12分