Question

關于函數f（x）=loga

1+x

1-x

（a＞0且a≠1）下列說法：
①f（x）的定義域是（-1，1）；
②當a＞1時，使f（x）＞0的x的取值范圍是（-1，0）；
③對定義域內的任意x，f（x）滿足f（-x）=-f（x）；
④當0＜a＜1時，如果0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）＜f（x₂）；
其中正確結論的序號是______．（填上你認為正確的所有結論序號）

Answer 1

由

1+x

1-x

＞0，得（x+1）（x-1）＜0，解得：-1＜x＜1，∴f（x）的定義域是（-1，1），命題①正確；
∵a＞1，由f（x）＞0得，

1+x

1-x

＞1，即

1+x

1-x

-1＞0，x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，
∴當a＞1時，使f（x）＞0的x的取值范圍是（0，1），命題②不正確；
∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，∴命題③正確；
當0＜a＜1時，若0＜x₁＜x₂＜1，則1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴f(x1)-f(x2)=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1+x1-x2-x1x2

1+x2-x1-x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）命題④不正確．
故答案為：①③．