Question

（本小題滿分12分）

如圖：在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為所在邊的中點，O為面對角線A₁C₁的中點.

(1) 求證：面MNP∥面A₁C₁B；

(2) 求證：MO⊥面A₁C₁.

Answer 1

	第20題答案圖（1）

 

證明：（1） 連結D₁C， MN為△DD₁C的中位線，∴MN∥D₁C.………………2分

又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B.同理MP∥C₁B.…………………………………………… 4分

而MN與MP相交，MN，MP面MNP，A₁B，

A₁B面A₁C₁B.∴面MNP∥面A₁C₁B.………………6分

證明：（2） 法1，連結C₁M和A₁M，設正方體的邊長為a，

∵正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，

又∵O為A₁C₁的中點，

∴A₁C₁⊥MO………………………………………………8分

連結BO和BM，在三角形BMO中，

經計算知：

∴OB²+MO²=MB²，

即BO⊥MO.而A₁C₁，BO面A₁C₁B，∴MO⊥面A₁C₁B.

…………………………………………………………12分

第20題答案圖（2）

法2，連結AB₁，B₁D,B₁D₁,則O是B₁D₁的中點,

∵AD⊥面ABB₁A₁,A₁B面ABB₁A₁,∴AD⊥A₁B.

又A₁B⊥A₁B,AD和AB₁是面AB₁D內兩條相交直線,  

∴A₁B⊥面AB₁D,…………………………………………8分

又B₁D面AB₁D,∴A₁B⊥B₁D.同理:BC₁⊥B₁D.                      

又A₁B和BC₁是面A₁BC₁內兩條相交直線,∴B₁D⊥面A₁BC₁.………………………10分

∵OM是△D₁B₁D的中位線,∴OM∥B₁D.∴OM⊥面A₁BC₁.…………………………12分