Question

（2012•泉州模擬）將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點A與坐標原點重合．記邊AB所在直線的傾斜角為θ，已知θ∈[0，

π

3

]．
（Ⅰ）試用θ表示

BC

的坐標（要求將結果化簡為形如（cosα，sinα）的形式）；
（Ⅱ）定義：對于直角坐標平面內的任意兩點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），稱|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為P、Q兩點間的“taxi距離”，并用符號|PQ|表示．試求|BC|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：由B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+

π

3

），sin（θ+

π

3

））可求得

BC

的坐標，利用兩角和與差的三角函數公式即可求得

BC

．
解法二：由直線AD的傾斜角為

2π

3

+θ，

BC

=

AD

，利用三角函數的定義可求得D點的坐標為：D（cos（θ+

2π

3

），sin（θ+

2π

3

）），即

BC

的坐標；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）解法二可知|BC|=|cos（θ+

2π

3

）|+|sin（θ+

2π

3

））|，而θ∈[0，

π

3

]，可求得θ+

2π

3

∈[

2π

3

，π]，從而可得|BC|=-cos（θ+

2π

3

）+sin（θ+

2π

3

），整理可得|BC|=

2

sin（θ+

5π

12

），繼而可得答案；
解法二：由（Ⅰ）解法一可知|BC|=|cos（θ+

π

3

）-cosθ|+|sin（θ+

π

3

）-sinθ|，由0≤θ≤

π

3

，可得0＜θ+

π

3

＜π，從而|cos(θ+

π

3

)-cosθ|=cosθ-cos（θ+

π

3

），同理|sin(θ+

π

3

)-sinθ|=sin（θ+

π

3

）-sinθ，于是|BC|=sin（θ+

π

3

）+cos（θ+

π

3

），再利用輔助角公式即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解法一：因為B（cosθ，sinθ），C（cos（θ+

π

3

），sin（θ+

π

3

）），…（2分）
所以

BC

=（cos（θ+

π

3

）-cosθ，sin（θ+

π

3

）-sinθ），…（3分）
=（-

3

2

sinθ-

1

2

cosθ，

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=（cos（θ+

2π

3

），sin（θ+

2π

3

））．…（7分）
解法二：平移

BC

到

AD

（B移到A，C移到D），…（2分）
由

BC

的坐標與

AD

的坐標相等，都等于點D的坐標．…（3分）
由平幾知識易得直線AD的傾斜角為

2π

3

+θ，
∵

|AD|

=1，
∴根據三角函數的定義可得D（cos（θ+

2π

3

），sin（θ+

2π

3

）），
所以

BC

=（cos（θ+

2π

3

），sin（θ+

2π

3

））．…（7分）
（Ⅱ）解法一：
|BC|=|cos（θ+

2π

3

）|+|sin（θ+

2π

3

））|，…（8分）
∵θ∈[0，

π

3

]，
∴θ+

2π

3

∈[

2π

3

，π]，…（9分）
∴|BC|=-cos（θ+

2π

3

）+sin（θ+

2π

3

）…（11分）
=

2

sin（θ+

5π

12

），…（12分）
所以當θ=

π

12

時，|BC|取得最大值

2

．…（13分）
解法二：|BC|=|cos（θ+

π

3

）-cosθ|+|sin（θ+

π

3

）-sinθ|，…（8分）
∵0≤θ≤

π

3

，
∴

π

3

≤θ+

π

3

≤

2π

3

＜π，即0≤θ＜θ+

π

3

＜π，
∴|cos(θ+

π

3

)-cosθ|=cosθ-cos（θ+

π

3

）．…（9分）
∵0≤θ≤

π

3

，
∴

π

2

-θ≥（θ+

π

3

）-

π

2

，
∴|sin(θ+

π

3

)-sinθ|=sin（θ+

π

3

）-sinθ，…10分
|BC|=cosθ-cos（θ+

π

3

）+sin（θ+

π

3

）-sinθ
=sin（θ+

π

3

）+cos（θ+

π

3

）
=

2

sin（θ+

5π

12

），…（12分）
所以當θ=

π

12

，|BC|取得最大值

2

．…（13分）

點評：本小題主要考查三角函數的定義、兩角和與差的三角函數公式、平面向量等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，綜合性強，屬于難題．