Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+2x²，其中a＞0
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求過(guò)點(diǎn)（

4

7

，0）且與曲線y=f（x）（x＞0）相切的直線方程
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-2，求的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，建立等式關(guān)系，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（2）先求導(dǎo)f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)-1≤-

4

a

，當(dāng)-

4

a

＜-1；分別求得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值，從而列出關(guān)于a的方程即可求得a=12．

解答：解：（1）a=3時(shí)f（x）=x³+2x²f′（x）=3x²+4x
設(shè)切點(diǎn)（m，m³+2m²）（m＞0），則在切點(diǎn)處的切線的斜率為k=3m²+4m
∴切線方程y-m³-2m²=（3m²+4m）（x-m）
∵過(guò)（

4

7

，0）
∴-m³-2m²=（3m²+4m）（

4

7

-m）即7m³+m²-8m=0
m=0（舍）或m=1或m=-

8

7

∴所求的切線方程7x-y-4=0
（2）f（x）=

1

3

ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-

4

a

或x＞0，f′（x）＜0，-

4

a

＜x＜0
y=f（x）在x＜-

4

a

或x＞0上單調(diào)增，在-

4

a

＜x＜0上單調(diào)減．
當(dāng)-1≤-

4

a

即a≥4時(shí)y=f（x）在[-1，-

4

a

]，[0，1]上單調(diào)增，在[-

4

a

，0]上單調(diào)減，f（x）的最小值在x=-1或x=0時(shí)取到，
f（0）=0不符合題意，f（-1）=-

1

3

a+2，a=12
當(dāng)-

4

a

＜-1即0＜a＜4時(shí)y=f（x）在[0，1]上單調(diào)增，在[-1，0]上單調(diào)減
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．