Question

對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.

（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足：.

(1)  求證：是數列的母函數；

(2)求數列的前項和.

（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證：.

Answer 1

解：（Ⅰ）(1)由題知，且

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是數列的母函數；

(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數列，故.

            ①

       ②

①-②得：.

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（Ⅱ）由題知：，.

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從而是以為首項，為公比的等比數列.

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又

故當時，有：

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