Question

某地區的一種特色水果上市時間能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續上漲態勢，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌，現有三種價格模擬函數：①f（x）=p•q^x；②f（x）=log_qx+p；③f（x）=（x-1）（x-q）²+p（以上三式中p、q均為常數，且q＞2）．
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6，①求出所選函數f（x）的解析式（注：函數的定義域是[1，6]．其中x=1表示4月1日，x=2表示5月1日，…，以此類推）；②為保證果農的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該水果在哪幾個月內價格下跌．

Answer 1

分析：（1）欲找出能較準確反映數學成績與考試序次關系的模擬函數，主要依據是呈現前幾次與后幾次均連續上升，中間幾次連續下降的趨勢，故可從三個函數的單調上考慮，前面兩個函數沒有出現兩個遞增區間和一個遞減區間，應選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績模擬函數．
（2）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式
（3）利用導數即可預測該果品在哪幾個月份內價格下跌．

解答：解：（1）因為f（x）=pq^x，f（x）=log_q^x+q是單調函數，f（x）=（x-1）（x-q）²+q中，
f′（x）=3x²-（4q+2）+q²+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=

q+2

3

，f（x）有兩個零點，可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間，所以應選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績模擬函數．
（2）（1）由f（1）=4，f（3）=6，得

p=4 2(2-q)2 又q＞2

+p=6得

p=4 q=4

f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
（2）由f′（x）=3x²+18x+24＜0得：5≤x≤6，
預測該果品在5、6月份內價格下跌．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．