Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，且FD⊥AC₁．
（1）試求的值；
（2）求點(diǎn)C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

解：（1）連AF，F(xiàn)C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱長(zhǎng)都等于2，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，∴AF=FC₁．
又在△AFC₁中，F(xiàn)D⊥AC₁，所以D為AC₁的中點(diǎn)，即=1．
（2）由題意易得AC=2，AF=CF=，∴S_△ACF=2，
V_F-ACC1=V_E-ACC1==，
記點(diǎn)C₁到平面AFC的距離為h，則V_F-ACC1=V_C1-ACF=S_△ACF×h，∴h=．
故點(diǎn)C₁到平面AFC的距離為．
分析：（1）證明Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，利用D為AC₁的中點(diǎn)，可得結(jié)論；
（2）運(yùn)用等體積法求解，即V_F-ACC1=V_C1-ACF，由此可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積的計(jì)算，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．