Question

函數f（x）對，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）在定義域上是單調函數且f（1）=2，解不等式f（x）≥f（1-2x）-4．

Answer 1

分析：（1）結合所給的抽象條件，對x、y進行取特值即可獲得問題的解答；
（2）根據函數的奇偶性定義，只需要找到f（-x）與f（x）的關系即可解答問題，操作時可以令y=-x進行分析；
（3）首先應充分利用好前兩問題的結論對4進行轉化，再結合不等式f（x）≥f（1-2x）-4，找到抽象不等式：f（x+2）≥f（1-2x），結合單調性分析即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）令x=y=0，
則f（0+0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0．
（2）x∈[-3，3]關于原點對稱，
令y=-x
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴f（x）=-f（-x）
所以f（x）在x∈[-3，3]上是奇函數．
（3）∵f（1）=2
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4
∵f（x）≥f（1-2x）-4，
∴f（x）+4≥f（1-2x）
即f（x）+f（2）=f（x+2）≥f（1-2x）
∵f（x）在定義域上是單調，并且f（0）=1，f（1）=2
∴f（x）在定義域上是單調遞增的．
∴

-3≤x≤3 -3≤1-2x≤3 x+2≥1-2x

解的

-3≤x≤3 -1≤x≤2 x≥- 1 3

∴x∈[-

1

3

，2]．

點評：本題考查的是抽象函數問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了，特值的思想、問題轉化的思想以及函數奇偶性的判斷和應用．值得同學們體會和反思．