Question

已知函數y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則稱x₀是函數y=f（x）的一個不動點，設二次函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）當a=2，b=1時，求函數f（x）的不動點；
（Ⅱ）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個不同的不動點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數y=f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且直線y=kx+

1

a2+1

是線段AB的垂直平分線，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個不相等的實數根，即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實數根，則 △x=b2-4a(b-2)＞0對任意b恒成立，根據二次函數的性質可得a的不等式；
（Ⅲ）設函數f（x）的兩個不同的不動點為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實根，則x1+x2=-

b

a

，由題意可得k=-1，且AB中點（-

b

2a

，-

b

2a

）在直線y=kx+

1

a2+1

上，代入可得a，b的關系式，分離出b后根據a的范圍可得b的范圍；

解答：解：（Ⅰ） 當a=2，b=1時，f（x）=2x²+2x-1，解2x²+2x-1=x，
解得x=-1，x=

1

2

，
所以函數f（x）的不動點為x=-1，x=

1

2

；
（Ⅱ）因為對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個不同的不動點，
所以對于任意實數b，方程f（x）=x恒有兩個不相等的實數根，
即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有兩個不相等的實數根，
所以 △x=b2-4a(b-2)＞0，即對于任意實數b，b²-4ab+8a＞0，
所以  △b=(-4a)2-4×8a＜0，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）設函數f（x）的兩個不同的不動點為x₁，x₂，則A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的兩個不等實根，所以x1+x2=-

b

a

，
直線AB的斜率為1，線段AB中點坐標為(-

b

2a

，-

b

2a

)，
因為直線y=kx+

1

a2+1

是線段AB的垂直平分線，
所以k=-1，且（-

b

2a

，-

b

2a

）在直線y=kx+

1

a2+1

上，
則-

b

2a

=

b

2a

+

1

a2+1

，a∈（0，2），
所以b=-

a

a2+1

=-

1

a+ 1 a

≥-

1

2 a• 1 a

=-

1

2

，
當且僅當a=1∈（0，2）時等號成立，
又b＜0，
所以實數b的取值范圍是[-

1

2

，0）．

點評：本題考查函數恒成立問題、直線的垂直關系直線方程，考查轉化思想，本題的關鍵是準確理解不動點的定義．