Question

某高校的自主招生考試數學試卷共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個是正確的）．評分標準規定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其中兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其中一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這8道選擇題，試求：
（1）該考生得分為40分的概率；
（2）該考生所得分數ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，每個題答對的概率分別為

1

2

，

1

2

，

1

3

，

1

4

．
（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每個值的概率，列出分布列，從而求得
所得分數的數學期望．

解答：解：（1）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為

1

2

，有一道題答對的概率為

1

3

，還有一道題答對的概率為

1

4

，所以，得40分的概率為  P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．
（2）依題意，該考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，
故所求概率為P(ξ=20)=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；
同樣可求得得分為25分的概率為P(ξ=25)=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得分為30分的概率為P(ξ=30)=

17

48

；
得分為35分的概率為P(ξ=35)=

7

48

；
得分為40分的概率為P(ξ=40)=

1

48

．
于是ξ的分布列為：

ξ	20	25	30	35	40
P	6 48	17 48	17 48	7 48	1 48

故Eξ=20×

6

48

+25×

17

48

+30×

17

48

+35×

7

48

+40×

1

48

=

335

12

．
該考生所得分數的數學期望為

335

12

．

點評：本題考查獨立事件的概率，求離散型隨機變量的分布列與數學期望，求出離散型隨機變量取各個值的概率，是解題的
難點．