Question

已知函數f（x）=x+有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，求b的值；
（2）證明：函數f（x）=x+（常數a＞0）在（0，]上是減函數；
（3）設常數c∈（1，9），求函數f（x）=x+在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=x+在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數
且函數y=x+（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，
故=4
解得b=4
證明：（2）∵函數f（x）=x+（常數a＞0）
∴f（x）=1-，
當x∈（0，]時，x²≤a
即≥1，
此時f（x）=1-≤0恒成立
故函數f（x）=x+（常數a＞0）在（0，]上是減函數
（3）當c∈（1，9）時，∈（1，3）
故當x=時，函數取最小值2
而f（1）-f（3）=
故當1＜c≤3時，函數的最大值是f（3）=3+
當3＜c＜9時，函數的最大值是f（1）=1+c
分析：（1）根據題設條件知=4，由此可知求出b值；
（2）由已知中函數的解析式，求出函數的導函數，判斷導數在（0，]上的符號，進而可由導數符號與函數單調性的關系得到答案．
（3）由常數c∈（1，9），可得的范圍，根據已知可得當x=時，函數取最小值，比較f（1）與f（3）的大小，可得函數的最大值．
點評：本題考查的知識點是函數的最值及其意義，函數單調性的性質，熟練掌握對勾函數f（x）=x+（常數a＞0）的圖象和性質是解答本題的關鍵．