Question

某工廠生產某種水杯，每個水杯的原材料費、加工費分別為30元、m元（m為常數，且2≤m≤3），設每個水杯的出廠價為x元（35≤x≤41），根據市場調查，水杯的日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例，已知每個水杯的出廠價為40元時，日銷售量為10個．
（Ⅰ）求該工廠的日利潤y（元）與每個水杯的出廠價x（元）的函數關系式；
（Ⅱ）當每個水杯的出廠價為多少元時，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例”可設日銷量，根據日利潤y=每件的利潤×件數，建立函數關系式，注意實際問題自變量的范圍．
（Ⅱ）先對函數進行求導，求出極值點，利用2≤m≤3，可得函數在35≤x≤41范圍內的單調性，從而求出函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）設日銷量為s，則s=

k

ex

∵x=40，s=10，∴10=

k

e40

，∴k=10e⁴⁰，∴s=

10e40

ex

∴y=

10e40

ex

（x-30-m）（35≤x≤40）；
（Ⅱ）y′=

10e40

ex

（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
∴當2≤m≤3時，33≤31+m≤34，y′＜0，∴當35≤x≤41時，函數為減函數．
∴當x=35時，y取最大值，最大值為10（5-t）e⁵．

點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，屬于中檔題．