設向量
，
，其中
，由不等式
恒成立，可以證明（柯西）不等式
（當且僅當
∥
，即
時等號成立），己知
，若
恒成立，利用可西不等式可求得實數
的取值范圍是
華東師大版一課一練系列答案科目：高中數學 來源：2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（天津卷解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.
【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), 
,P（0,0,2）.
（1）證明：易得
，
于是
,所以
(2) ,
設平面PCD的法向量
，
則
,即
.不防設
，可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為
.
（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中
，由此得
.
由，故
所以，
，解得
，即
.
解法二：（1）證明：由
，可得
，又由
,
,故
.又
,所以.
(2)如圖，作
于點H，連接DH.由,
,可得
.
因此
,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中，
,由此得
由（1）知
,故在
中，
因此
所以二面角
的正弦值為.
（3）如圖，因為
，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故
.在
中，
故
在
中，由
,
,
可得
.由余弦定理，
,
所以.
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變形為
，其次利用柯西不等式有
，即
，即
的最大值為
，而不等式
．
