Question

【題目】設函數fn（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），證明：
（1）對每個n∈N+ ， 存在唯一的x∈[ ，1]，滿足fn（xn）=0；
（2）對于任意p∈N+ ， 由（1）中xn構成數列{xn}滿足0＜xn﹣xn+p＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：對每個n∈N+，當x＞0時，由函數fn（x）=﹣1+x+ ），可得

f′（x）=1+ + +… ＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．

由于f1（x1）=0，當n≥2時，fn（1）= + +…+ ＞0，即fn（1）＞0．

又fn（ ）=﹣1+ +[ + + +…+ ]≤﹣ +

=﹣ + × =﹣ ＜0，

根據函數的零點的判定定理，可得存在唯一的xn ，滿足fn（xn）=0

（2）證明：對于任意p∈N+，由（1）中xn構成數列{xn}，當x＞0時，∵fn+1（x）=fn（x）+ ＞fn（x），

∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0．

由 fn+1（x） 在（0，+∞）上單調遞增，可得 xn+1＜xn，即 xn﹣xn+1＞0，故數列{xn}為減數列，即對任意的 n、p∈N+，xn﹣x/span>n+p＞0．

由于 fn（xn）=﹣1+xn+ + +…+ =0 ①，

fn+p （xn+p）=﹣1+xn+p+ + +…+ +[ + +…+ ]②，

用①減去②并移項，利用 0＜xn+p≤1，可得

xn﹣xn+p= + ≤ ≤ ＜ = ＜ ．

綜上可得，對于任意p∈N+，由（1）中xn構成數列{xn}滿足0＜xn﹣xn+p＜

【解析】（1）由題意可得f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．求得fn（1）＞0，fn（ ）＜0，再根據函數的零點的判定定理，可得要證的結論成立．（2）由題意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上單調遞增，可得 xn+1＜xn ， 故xn﹣xn+p＞0．用 fn（x）的解析式減去fn+p （xn+p）的解析式，變形可得xn﹣xn+p= + ，再進行放大，并裂項求和，可得它小于 ，綜上可得要證的結論成立．
【考點精析】本題主要考查了基本求導法則和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．