Question

已知⊙O′過定點A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C：x²＝2py(p＞0)上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(1)當O′點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結論；
(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）|MN|不變化，其定值為2p 見解析
（2）見解析

(1)設O′(x₀，y₀)，則x₀²＝2py₀(y₀≥0)，
則⊙O′的半徑|O′A|＝，
⊙O′的方程為(x－x₀)²＋(y－y₀)²＝x₀²＋(y₀－p)²，
令y＝0，并把x₀²＝2py₀，代入得x²－2x₀x＋x₀²－p²＝0，
解得x₁＝x₀－p，x₂＝x₀＋p，所以|MN|＝|x₁－x₂|＝2p，
這說明|MN|不變化，其定值為2p．
(2)不妨設M(x₀－p,0)，N(x₀＋p,0)．
由題2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x₀－p|＋|x₀＋p|，
所以－p≤x₀≤p．
O′到拋物線準線y＝－的距離d＝y₀＋＝，
⊙O′的半徑|O′A|＝
＝＝．
因為r＞d?x₀⁴＋4p⁴＞(x₀²＋p²)²?x₀²＜p²，
又x₀²≤p²＜p²(p＞0)，所以r＞d，
即⊙O′與拋物線的準線總相交．