Question

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上按逆時(shí)針方向前進(jìn)．現(xiàn)在投擲一個(gè)質(zhì)地均勻．每個(gè)面上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字的正方體玩具，它的六個(gè)面上分別寫有兩個(gè)1．兩個(gè)2．兩個(gè)3一共六個(gè)數(shù)字．質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如由A到D）．在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
（1）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；
（2）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量S表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求S的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率，首先我們要對回到A點(diǎn)的情況分類討論，由于回到原點(diǎn)最少需要兩次投擲，最多需要四次投擲，故我們可以分兩次、三次、四次，四種情況進(jìn)行討論，計(jì)算出每種情況性質(zhì)的概率，相加即得結(jié)果．
（2）由（1）的結(jié)論我們不難得到ξ的值分別等2，3，4時(shí)的概率，然后我們代入數(shù)學(xué)期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）投擲一次正方體玩具，上底面每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為P1=

2

6

=

1

3

因?yàn)橹煌稊S一次不可能返回到A點(diǎn)；
若投擲兩次點(diǎn)P就恰能返回到A點(diǎn)，
則上底面出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三種結(jié)果，
其概率為P2=(

1

3

)2•3=

1

3

若投擲三次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為P3=(

1

3

)3•3=

1

9

若投擲四次點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個(gè)數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1）
其概率為P4=(

1

3

)4=

1

81

所以，點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為P=P₂+P₃+P₄=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

（Ⅱ）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種，
因?yàn)椋琍（ξ=2）=

3

7

，P（ξ=3）=

3

7

，P（ξ=4）=

1

7

所以，Eξ=2•

3

7

+3•

3

7

+4•

1

7

=

19

7

點(diǎn)評：解決等可能性事件的概率問題，關(guān)鍵是要弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個(gè)基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．同時(shí)（2）中概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也是高考的熱點(diǎn)．對于數(shù)學(xué)期望的計(jì)算則要熟練掌握運(yùn)算方法和步驟．