Question

已知二次函數f（x）的二次項系數a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的最小值不大于-3a，且函數G(x)=f(x)-

1

3

x3-ax2-

3

2

x在R上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據二次不等式的解集與相應的二次方程的根的關系，判斷出-1，2是方程的根，利用韋達定理列出a，b，c滿足的等式；再利用二次方程有兩個相等的實根，判別式等于0列出關于a，b，c的另一個等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）通過對二次函數配方求出其最小值，列出不等式求出a的范圍；求出G（x）的導函數，令其大于等于0恒成立，求出a的范圍．

解答：解：（1）設二次函數為f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
∴-1，2是方程ax²+（b-2）x+c=0的兩個根
∴

1 = 2-b a -2= c a

①
∵方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根即
ax²+bx+c+3a=0有兩個相等的實根
∴△=b²-4a（c+3a）=0②
解①②得a=

2

3

，b=

4

3

，c=-

4

3

∴f(x)=

2

3

x2+

4

3

x-

4

3

（2）根據題意得f(x)=ax2+(2-a)x-2a=a(x+

2-a

2a

)2+

-8a2-(2-a)2

4a

∵a＞0，所以f（x）的最小值為

-8a2-(2-a)2

4a

則

-8a2-(2-a)2

4a

≤-3a
得-2≤a≤

2

3

由G(x)=f(x)-

1

3

x3-ax2-

3

2

x在R上是減函數，
G′(x)=-x2 +

1

2

-a ≤0在R上恒成立
∴

1

2

-a≤0
得到a≥

1

2

，
綜上所述

1

2

≤a≤

2

3

點評：解決二次不等式的解集問題常轉化為二次方程的根問題，利用韋達定理得到系數間的關系；解決函數在某個區間上的單調性已知，求參數的范圍問題，常求出函數的導函數，令導函數大于等于0（或小于等于0）恒成立．