Question

設{a_n}是由正數組成的等比數列，S_n是其前n項和，證明：

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．

Answer 1

分析：設數列的公比為q，當q=1時則S_n=na₁，代入S_n，S_n+2，S_n+1，再根據對數函數的單調性得證，當≠1時把等比數列的求和公式Sn=

a1(1-qn)

1-q

代入S_n，S_n+2，S_n+1，再根據對數函數的單調性得證．

解答：證明：設{a_n}的公比為q，由題設知a₁＞0，q＞0，
（1）當q=1時，S_n=na₁，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0．
（2）當q≠1時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 2 1 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 2 1 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．
由（1）和（2）得S_n•S_n+2＜S_n+1²．
根據對數函數的單調性，得log_0.5（S_n•S_n+2）＞log_0.5S_n+1²，
即

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．

點評：本小題主要考查等比數列、對數、不等式等基礎知識以及邏輯推理能力，