Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)若直線l過點(－2，0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）

【解析】

（1）根據直線l過點（-2，0）且被圓C截得的弦長為2，可得圓心C到l的距離，分類討論，求出直線的斜率，即得直線的方程．
（2），求|PM|的最小值，即求出|PC|的最小值．

(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，

當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，易求直線l與圓C的交點為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；

當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，

解得k＝，

所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.

綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0

(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，

所以△PMC為直角三角形，

所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.

設P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，

因為|PM|＝|PO|，

所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，

化簡得點P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點O到直線2x－4y＋3＝0的距離，代入點到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.