Question

在自然數集N上定義一個函數y = f (x)，已知f (1) + f (2)=5.當x為奇數時，f (x+1)－f (x)=1，當x為偶數時f (x+1)－f (x)=3.
（1）求證：f (1)，f (3)，f (5)，……，f (2n－1) （n∈N₊）成等差數列.
（2）求f (x)的解析式.

Answer 1

（1）見解析；（2）                .

（1）先構造關于f(1),f(2)的方程，然后根據，即可得證.
（2）討論x奇數和偶數,分別利用給的兩個遞推關系即可求出解析式.
解：（1）有
∴
∴是首項為2，公差為4的等差數列
（2）當x為奇數時，
+
當x為偶數時，

=
∴                7’