Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（2b﹣a）cosC=ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=2 sinAsinB，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于（2b﹣a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，

即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，

因為sinB≠0，所以cosC= ，

因為0＜C＜π，所以C=

（2）解：設△ABC外接圓的半徑為R 由題意得2R= =2 ，

由sinA+sinB=2 sinAsinB得，2R（a+b）=2 ab，即a+b= ab，①

由余弦定理得，a2+b2﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0，②

將①式代入②得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得 ab=3或ab=﹣ （舍去），

所以S△ABC= absinC=

【解析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得：（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形內角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC= ，結合范圍0＜C＜π，可求C的值．（2）設△ABC外接圓的半徑為R 由題意得2R= =2 ，由sinA+sinB=2 sinAsinB得a+b= ab，由余弦定理得（a+b）﹣3ab﹣9=0，聯立解得ab的值，利用三角形面積公式即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．