Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1
（1）求向量

n

；
（2）設向量

a

=（1，0），向量

b

=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

))，若

a

•

n

=0，記函數f(x)=

m

•(

n

+

b

)，求此函數的單調遞增區間和對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）設所求向量坐標為（x，y），利用向量數量積的坐標運算和夾角公式列出關于x、y的方程組，解方程組即可得所求
（2）先利用向量數量積運算法則將函數f（x）化為三角函數式，再利用二倍角公式，兩角和的正弦公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）型函數，最后利用正弦函數的圖象性質通過解不等式求得函數的單調遞增區間和對稱軸方程．

解答：解：（1）設

n

=（x，y），依題意

x+y=-1 x+y 2 x2+y2 =cos 3π 4

即

x+y=-1 -1 2 x2+y2 =- 2 2

，解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=（0，-1）或

n

=（-1，0）
（2）∵

a

•

n

=0，∴

n

=（0，-1）
∵f(x)=

m

•(

n

+

b

)=（1，1）•(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

)-1)=cosx+2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=cosx+cos2(

π

3

-

x

2

)=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin（x+

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴此函數的單調遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]
由x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

π

3

，
∴此函數的對稱軸方程為x=kπ+

π

3

，

點評：本題考察了向量的坐標表示，向量的數量積運算及其性質，向量的夾角公式，向量垂直的充要條件，三角變換公式及三角函數的圖象和性質