Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＜0，|φ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當g（x）=f（x）-2cos2x時，如何由函數y=sinx的圖象通過適當的變換得到函數y=g（x）的圖象，寫出變換過程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函數f（x）的解析式，需找到A，ω，φ的值，A是振幅，是圖象離開平衡位置的最大位移，由圖象可知；ω與函數周期有關，周期T=

2π

ω

，根據圖象找到周期，可得ω的值，再代一點，就可求出∅值．
（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，把y=sinx的圖象向右平移

π

6

得到y=sin（x-

π

6

）的圖象；再把sin（x-

π

6

）圖象上所有點的坐標縮短為原來的

1

2

縱坐標不變得到y=sin（2x-

π

6

）的圖象；把y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點的縱坐標擴大為原來的

1

2

，縱坐標不變得到y=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）由圖象知A=2，f（x）的最小正周期T=4×（

5π

12

-

π

6

）=π，∴ω=2
將點（

π

6

，2）代入得sin（

π

3

+φ）=1，又，|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

故函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（Ⅱ）g（x）=2sin（2x+

π

6

）-2cos2x=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
變換如下：把y=sinx的圖象向右平移

π

6

得到y=sin（x-

π

6

）的圖象；再把sin（x-

π

6

）
圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

縱坐標不變得到y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
把y=sin（2x-

π

6

）的圖象上所有點的縱坐標擴大為原來的2倍，橫坐標不變得到y=2sin（2x-

π

6

）的圖象．

點評：本題考查了由三角函數圖象求解析式，以及函數圖象變換，做題時要細心．