Question

已知函數f（x）=

3

8

x²-2x+2+ln x．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在[e^m，+∞）（m∈Z）上有零點，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的導數，利用導數和單調性之間的關系，求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）根據函數的單調性，利用極值與x軸之間的關系，確定m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

8

x²-2x+2+ln x，
∴f'（x）=

3

4

x-2+

1

x

=

(3x-2)(x-2)

4x

，
由f'（x）＞0，解得x∈(0，

2

3

)∪(2，+∞)，此時函數單調遞增，
f'（x）＜0，解得x∈(

2

3

，2)，此時函數單調遞減，
即函數的增區間：（0，

2

3

）和（2，+∞），減區間：（

2

3

，2）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y 最大=f(

2

3

)=

5

6

+ln

2

3

＞0，y 最小=f(2)=ln2-

1

2

＞0，
當x＞0且x→0時f（x）＜0，故f（x）在定義域上存在唯一零點x₀，且x0∈(0，

2

3

)，
若m≥0，則e^m≥1，[em，+∞)?(

2

3

，+∞)，此區間不存在零點，舍去．
若m＜0，當m=-1時，x∈[

1

e

，+∞)，f（

1

e

）=1+

3

8e2

-

2

e

＞0，
又（

1

e

，

2

3

）為增區間，此區間不存在零點，舍去．
當m=-2時，x∈[

1

e2

，+∞)，f(

1

e2

)=

1

e2

(

3

8e2

-2)＜0，
又在區間（

1

e2

，

2

3

），y=f（

2

3

）＞0，此時x₀∈（

1

e2

，

2

3

），
綜上m_max=-2．

點評：本題主要考查函數的單調性與導數之間的關系，以及利用根的存在性定義判斷函數零點問題，綜合性較強，難度較大．