Question

設f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0），若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍是

5

2

≤a≤4

．

Answer 1

分析：先對函數f（x）分x=0和x≠0分別求函數值，綜合可得其值域，同樣求出函數g（x）的值域，把兩個函數的函數值相比較即可求出a的取值范圍．

解答：解：∵f(x)=

2x2

x+1

，
當x=0時，f（x）=0，
當x≠0時，f（x）=

2

1 x +( 1 x )2

=

2

( 1 x + 1 2 )2- 1 4

，
由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1．
故0≤f（x）≤1
又因為g（x）=ax+5-2a（a＞0），且g（0）=5-2a，g（1）=5-a．
故5-2a≤g（x）≤5-a．
所以須滿足

5-2a≤0 5-a≥1

，
∴

5

2

≤a≤4，
故答案為

5

2

≤a≤4．

點評：本題主要考查函數恒成立問題以及函數值域的求法，是對知識點的綜合考查，屬于基礎題．