Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
（1）當a=-1時，求函數的最大值和最小值；
（2）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調減函數．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時f（x）=x²-2x+2，可得區間（-5，1）上函數為減函數，在區間（1，5）上函數為增函數．由此可得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1；
（2）由題意，得函數y=f（x）的單調減區間是[a，+∞），由[-5，5]?[a，+∞）解出a≤-5，即為實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-1時，函數表達式是f（x）=x²-2x+2，
∴函數圖象的對稱軸為x=1，
在區間（-5，1）上函數為減函數，在區間（1，5）上函數為增函數．
∴函數的最小值為[f（x）]_min=f（1）=1，
函數的最大值為f（5）和f（-5）中較大的值，比較得[f（x）]_max=f（-5）=37
綜上所述，得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1（6分）
（2）∵二次函數f（x）圖象關于直線x=-a對稱，開口向上
∴函數y=f（x）的單調增區間是（-∞，a]，單調減區間是[a，+∞），
由此可得當[-5，5]?[a，+∞）時，
即-a≥5時，f（x）在[-5，5]上單調減，解之得a≤-5．
即當a≤-5時y=f（x）在區間[-5，5]上是單調減函數．（6分）

點評：本題給出含有參數的二次函數，討論函數的單調性并求函數在閉區間上的最值，著重考查了二次函數的圖象與性質和函數的單調性等知識，屬于基礎題．