Question

已知動圓C與定圓C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0相外切，與定圓C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0內相切．
（1）求動圓C的圓心C的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+l（k≠0）與C的軌跡交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(

1

8

，0)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由動圓C與定圓C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0相外切，與定圓C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0內相切，結合兩圓之間位置關系的性質，可得C到C₃和C₂的和為定值，進而由橢圓的定義得到C的軌跡方程；
（2）設出M，N的坐標，聯立直線方程和橢圓的標準方程，利用韋達定理求出M，N的坐標，代入MN的垂直平分線方程，可求出k值．

解答：解：（1）∵C3：

x

2

+2x+

y

2

+

3

4

=0的方程可化為(

x+1)

2

+

y

2

=(

1

2

)2
圓C2：

x

2

-2x+

y

2

-

45

4

=0的方程可化為

(x-1)

2

+

y

2

=(

7

2

)2
設動圓C的半徑為r，則
|CC₃|=

1

2

+r，|CC₂|=

7

2

-r，
∴|CC₃|+|CC₂|=4
∴C的軌跡是以C₃和C₂為焦點，長軸為4的橢圓
∴C的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+1

消去y并整理得
（3+4k²）x²+8kx-8=0
則x₁+x₂=

-8k

3+4k2

，x₁•x₂=

-8

3+4k2

則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

6

3+4k2

則線段MN的中點P的坐標為（

-4k

3+4k2

，

3

3+4k2

）
由線段MN的垂直平分線過定點G(

1

8

，0)，
設MN的垂直平分線l的方程為y=-

1

k

（x-

1

8

）
∵P點在l上
∴

3

3+4k2

=-

1

k

（

-4k

3+4k2

-

1

8

）
即4k²+8k+3=0
解得k=-

1

2

，或k=-

3

2

點評：本題考查的知識點是圓與圓的位置關系及其判定，直線與橢圓的位置關系，其中根據已知求出C的軌跡方程是解答的關鍵．