Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°，F為AE中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求點F到平面BDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BE的中點O，連OC，OF，DF，可利用條件得OC∥FD，再利用條件證得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因為二面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角為∠FOD即可．
（Ⅲ）由OFDC為正方形可得CF⊥OD，CF⊥EB⇒CF⊥面EBD，所以點F到平面BDE的距離為FC，再由條件求出結果即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：取BE的中點O，連OC，OF，DF，則2OF與BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD與BA平行且相等，
∴OF與CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（Ⅱ）二面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角為∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，
∴OFDC為正方形，
∴∠FOD=45°，
∴二面角A-EB-D的余弦值為．（10分）
（Ⅲ）∵OFDC為正方形，
∴CF⊥OD，CF⊥EB，
∴CF⊥面EBD，
∴點F到平面BDE的距離為FC，
∴點F到平面BDE的距離為．（14分）
點評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點到面的距離計算．在求點到面的距離時，如果直接法不好求的話，一般轉化為棱錐的高利用等體積法來求．