在平面直角坐標系中，長度為3的線段AB的端點A、B分別在
軸上滑動，點M在線段AB上，且
,
（1）若點M的軌跡為曲線C，求其方程；
（2）過點
的直線
與曲線C交于不同兩點E、F，N是曲線上不同于E、F的動點，求
面積的最大值.
（1）C的方程是
；（2）
.
解析試題分析：（1）設
，則
.用定比分點坐標公式可得
與之間的關系式，將此關系式代入即得只含的方程，此即M的軌跡方程.（2）首先考慮直線的斜率不存在的情況，即
，此時
.當直線的斜率存在時，設
，
，聯立
，再用韋達定理即得
（含k的代數式）.由題知過N的直線
，且與橢圓切于N點時，
最大，故設
聯立與橢圓方程得
，此時
.
的距離
即為點N到EF的距離，所以
，化簡
，平方后利用導數可得其最大值.
（1）由題知
，設
有
代入得，
所以曲線C的方程是 4分
（2）當直線的斜率不存在時，即，此時 5分
當直線的斜率存在時，設，
聯立
，有
.
7分
由題知過N的直線，且與橢圓切于N點時，最大，故設
聯立與橢圓方程得，此時的距離，所以
化簡 10分
設
，有
，所以函數
在
上單調遞減，當
時，函數取得最大值
，即
時
綜上所述 .13分.
考點：1、軌跡方程的求法；2、直線與圓錐曲線的關系；3、利用導數求最值.
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．
(1)若函數f(x)在x＝1處有極值10，求b的值；
(2)若對于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調遞增，求b的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2－1與函數g(x)＝aln x(a≠0)．
(1)若f(x)，g(x)的圖像在點(1,0)處有公共的切線，求實數a的值；
(2)設F(x)＝f(x)－2g(x)，求函數F(x)的極值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝ln x－
－ln a(x>0，a>0且為常數)．
(1)當k＝1時，判斷函數f(x)的單調性，并加以證明；
(2)當k＝0時，求證：f(x)>0對一切x>0恒成立；
(3)若k<0，且k為常數，求證：f(x)的極小值是一個與a無關的常數．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（14分）（2011•陜西）設f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調區間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與
的大小關系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜
對任意x＞0成立．
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，其中
在其定義域上的單調性；
時，求
的值.
在
處取得極值－2.
的解析式； 
在點
處的切線方程.
.
在
時有極值，求實數
的值和
滿足下列條件：
處導數為－1；③在
處切線方程為
.
的值；