Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過左焦點F（-

3

，0）且斜率為k的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l：x+4ky=0交橢圓E于C，D兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線l上；
（3）若△BDM的面積是△ACM面積的3倍，求斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由焦點可得c，再由離心率公式和a，b，c的關系，求出a，b，即可得到橢圓方程；
（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，運用韋達定理和中點坐標公式，求得點M的坐標，即可得證；
（3）聯立直線方程和橢圓方程，消去x，解得C的縱坐標，再由面積關系，得到方程，解出即可．

解答： （1）解：左焦點F（-

3

，0），則c=

3

，
離心率為

3

2

，則

c

a

=

3

2

，即有a=2，b=1，
則橢圓方程

x2

4

+y²=1；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
設直線AB：y=k（x+

3

），

y=k(x+ 3 ) x2+4y2=4

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0，
所以x₁+x₂=-

8 3 k2

1+4k2

，x₀=

x1+x2

2

=-

4 3 k2

1+4k2

，
y₀=k（x₀+

3

）=

3 k

1+4k2

，
因為

-4 3 k2

1+4k2

+4k•

3 k

1+4k2

=0，所以點M在直線l上；
（3）解：由（2）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，
因△BDM的面積是△ACM面積的3倍，所以DM=3CM，又|OD|=|OC|，
于是M是OC的中點，
設點C的坐標為（x₃，y₃） 則y₀=

y3

2

，
因為

x=-4ky x2+4y2=4

，解得y₃=

1

1+4k2

，
于是

1

2 1+4k2

=

3 k

1+4k2

，解得k²=

1

8

，
所以k=±

2

4

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查聯立直線方程和橢圓方程，消去未知數，運用韋達定理，中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．