Question

已知函數f(x)=sin2x+2sinx•sin(

π

2

-x)+3sin2(

3π

2

-x)
（1）若tanx=

1

2

，求f（x）的值；
（2）求函數f（x）最小正周期及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式分母看做“1”，利用同角三角函數間的基本關系化簡，將tanx的值代入計算即可求出值；
（2）f（x）解析式利用同角三角函數間的基本關系化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，利用正弦函數的單調性即可確定出f（x）的單調遞減區間．

解答：解 （1）f（x）=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x=

sin2x+2sinxcosx+3cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+2tanx+3

tan2x+1

=

17

5

；
（2）f（x）=sin²x+2sinx•cosx+3cos²x=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得：

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞減區間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，誘導公式的作用，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．