Question

 

如圖，為圓的直徑，點在圓上，

已知∥,,

,。

直角梯形所在平面與圓所在平面互相垂直。（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一點,使∥平面?

若不存在，請說明理由;若存在，請找出這一點，并證明之

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解析:(1)連接,因為四邊形是直角梯形,所以,又平面平面所以平面,所以,因為為圓的直徑,所以,

又,所以平面,

又平面,所以平面平面．

(2)如圖,因為,連接,

則是邊長為的等邊三角形,以為原點,

所在的直線為軸,垂直于的直線分別為軸、

軸建立如圖所示的坐標系,則有

，（6分)

易得平面的一個法向量為，

設平面的一個法向量為，因為，

，則由 可得  ，令，得, 所以．     （8分)

結合圖形,易知平面與平面所成角的余弦值為．  (9分)

(3)存在點是的中點．

證明:連接,則∥,

又因為平面,所以∥平面,

因為∥,,,

所以四邊形是平行四邊形,所以∥,

又平面,所以∥平面,

又,所以平面∥平面,所以∥平面．     (13分)