Question

【題目】已知曲線C的方程為：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a為常數）．
（1）判斷曲線C的形狀；
（2）設曲線C分別與x軸、y軸交于點A、B（A、B不同于原點O），試判斷△AOB的面積S是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設直線l：y=﹣2x+4與曲線C交于不同的兩點M、N，且|OM|=|ON|，求曲線C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：將曲線C的方程化為 ）

可知曲線C是以點（a， ）為圓心，以 為半徑的圓

（2）解：△AOB的面積S為定值．

證明如下：

在曲線C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得點A（2a，0），

在曲線C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得點B（0， ），

∴S= |OA||OB|= |2a|| |=4（為定值）．

（3）解：∵圓C過坐標原點，且|OM|=|ON|，

∴圓心（a， ）在MN的垂直平分線上，∴ = ，∴a=±2，

當a=﹣2時，圓心坐標為（﹣2，﹣1），圓的半徑為 ，

圓心到直線l：y=﹣2x+4的距離d= = ＞ ，

直線l與圓C相離，不合題意舍去，

∴a=2，這時曲線C的方程為x2+y2﹣4x﹣2y=0

【解析】（1）把方程化為圓的標準方程，可得結論；（2）求出A，B的坐標，即可得出△AOB的面積S為定值；（3）由圓C過坐標原點，且|OM|=|ON|，可得圓心（a， ）在MN的垂直平分線上，從而求出a，再判斷a=﹣2不合題意即可．