Question

已知圓C過點M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）問是否存在滿足以下兩個條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C₁過原點．若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則

- D 2 -E+1=0 4-2E+F=0 10+3D+E+F=0

解得D=-6，E=4，F=4
∴圓C方程為x²+y²-6x+4y+4=0----------------------（5分）
（Ⅱ）設直線存在，其方程為y=x+b，它與圓C的交點設為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則由

x2+y2-6x+4y+4=0 y=x+b

得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0（*）
∴

x1+x2=1-b x1•x2= b2+4b+4 2

----------------------------（7分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2，
∵AB為直徑，∴，∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
得x₁x₂+y₁y₂=0，---------------------------------（9分）
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
即b²+4b+4+b（1-b）+b²=0，b²+5b+4=0，∴b=-1或b=-4-----------（11分）
容易驗證b=-1或b=-4時方程（*）有實根．
故存在這樣的直線l有兩條，其方程是y=x-1或y=x-4．--------------------（12分）