Question

已知函數f（x）滿足（其中為f（x）在點的導數，C為常數）
（I）若方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，求常數C；
（II）在（I）的條件下，若，求函數f（x）的圖象與X軸圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可解得c的值，然后把三次方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根轉化為函數的極大值或極小值為0來求解；
（II）結合題意和（I）可的c=1，可解出三次方程x³-x²-x+1=0的兩個根為±1，然后由定積分可知圖象的面積為，解出即可．
解答：解：（I）∵函數f（x）滿足
求其導數可得：
把x=代入可得，解得f′（）=-1
∴，
∴f′（x）=3x²-2x-1
由f′（x）=0，可解得，x₂=1，
并且當x∈（-∞，）時f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（，1）時
f′（x）＜0，f（x）單調遞減；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
故函數f（x）在x=處取到極大值，在x=1處取到極小值f（1）=c-1，
所以當方程f（x）=0有且只有兩個不等的實根，則只需=0或f（1）=0，
解得或c=1．
（II）在（I）的條件下，若，則，
∴c=1，故f（x）=x³-x²-x+1
可解得方程f（x）=x³-x²-x+1=0的兩個根為±1，
∴函數f（x）的圖象與對軸圍成的封閉圖形的面積為


點評：本題為導數與定積分的綜合應用，正確求解c的值是解決問題的關鍵，屬中檔題．