Question

觀察下列不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…由以上不等式推測到一個一般的結論：對于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．

Answer 1

分析：由已知中的三個式子，我們分析每一個不等式右邊的變化趨勢，可以歸納出其通項為

2n-1

n

，由此即可得到結論．

解答：解：由已知中的不等式，1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

…
我們可以得出不等式右邊分式的分子是正奇數3，5，7，…，分母是正整數2，3，4，…，從而推斷：
對于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．
故答案為：

2n-1

n

．

點評：本題考查的知識點是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．