Question

已知二次函數f（x）=x²+mx+1（m∈Z），且關于x的方程f（x）=2在(-3，

1

2

)上有兩個不相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x∈[2，t]總有f（x-5）≤2x成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（1）問題轉化為f（x）-2=x²+mx-1=0在(-3，

1

2

)上有兩個不相等的實數根，由此建立不等式，即可確定f（x）的解析式；
（2）先求f（x-5）≤2x成立時，x的范圍，即可求t的最大值．

解答：解：（1）由f（x）=2在(-3，

1

2

)上有兩個不相等的實數根，即g（x）=f（x）-2=x²+mx-1=0在(-3，

1

2

)上有兩個不相等的實數根，
∴

g(-3)＞0 g( 1 2 )＞0 -3＜- m 2 ＜ 1 2

，
∴

3

2

＜m＜

8

3

  (m∈Z)，∴m=2
從而f（x）=x²+2x+1…（7分）
（2）由 f（x-5）≤2x，得x²-10x+16≤0，
∴2≤x≤8
而當x∈[2，t]總有f（x-5）≤2x成立，t_max=8…（14分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．