Question

（2012•上高縣模擬）設△ABC的內角A，B，C所對的邊為a，b，c；則下列命題正確的是

①②⑤

①若ab＞c²；則C＜

π

3

；②若a+b＞2c；則C＜

π

3

；③若（a²+b²）c²＜2a²b²；則C＞

π

3

；
④若（a+b）c＜2ab；則C＞

π

2

；⑤若a³+b³=c³；則C＜

π

2

．

Answer 1

分析：①利用余弦定理，將c²放大為ab，再結合均值定理即可證明cosC＞

1

2

，從而證明C＜

π

3

；②利用余弦定理，將c²放大為（

a+b

2

）²，再結合均值定理即可證明cosC＞

1

2

，從而證明C＜

π

3

；③④只需舉反例即可證明其為假命題，可舉符合條件的等邊三角形；⑤利用反證法，假設C≥

π

2

時，推出與題設矛盾，即可證明此命題正確．

解答：解：①ab＞c²⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故①正確；
②a+b＞2c⇒cosC═

a2+b2-c2

2ab

＞

4(a2+b2)-(a+b)2

8ab

≥

8ab-4ab

8ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故②正確；
③取a=b=

2

，c=1，滿足（a²+b²）c²＜2a²b²，此時有C＜

π

3

，故③錯誤；
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜

π

3

＜

π

2

，故④錯誤；
⑤當C≥

π

2

時，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³與a³+b³=c³矛盾，故⑤正確；
故答案為：①②⑤

點評：本題主要考查了解三角形的知識，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，有一定的難度，屬中檔題．